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【大学受験】東北大学AOⅡ期の過去問の解答を作ってみた【H31】

更新日:

東北大学AOⅡ期の過去問って解答がついてないんですよねー

というわけで、平成31年度の工学部の数学の問題の解答だけ作ってみました。
他は随時追加していきたいな、と思っていたり。

問題は著作権の関係で載せられないので各自で参照してください。

あと間違ってたら指摘してもらえると嬉しいです。

平成30年度の回答はこちら。

目次

問題I

問1

\(\begin{split}(1)x&=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{4}\\y&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{split}\)

問2

\(最初ボールはAにあるからp_1は事象xが起こらない確率\)
 \(\begin{split}p_1&=1-x\\&=\frac{1}{4}\end{split}\)

問3

\(\begin{split}p_{n+1}&=(1-x)p_n+y(1-p_n)\\&=\frac{1}{4}p_n+\frac{1}{2}(1-p_n)\\&=-\frac{1}{4}p_n+\frac{1}{2}\end{split}\)



問4

\(\begin{split}問3より\\p_{n+1}&=-\frac{1}{4}p_n+\frac{1}{2}\\p_{n+1}-\frac{2}{5}&=-\frac{1}{4}(p_n-\frac{2}{5})\\p_n-\frac{2}{5}&=(p_1-\frac{2}{5})({-\frac{1}{4}})^{n-1}\\p_n&=-\frac{3}{20}(-\frac{1}{4})^{n-1}+\frac{2}{5}\end{split}\)

問5

\(\begin{split}問4より\\\lim_{n\to\infty}p_n&=\lim_{n\to\infty}(-\frac{3}{20}(-\frac{1}{4})^{n-1}+\frac{2}{5})\\&=\frac{2}{5}\end{split}\)



問題II

問1

\(\begin{split}(\rm iv)より\\f(2^n)&=\sum_{k=1}^nf(2)\\&=n\end{split}\)

問2

\(\begin{split}(\rm iv)より\\f(x)&=f(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x})\\&=2f(\sqrt{x})\\すなわち\\f(\sqrt{x})&=\frac{f(x)}{2}\end{split}\)

問3

\(\begin{split}f(100)&=f(2^6\cdot\frac{25}{16})\\&=f(2^6)+f(\frac{25}{16})\\&=6+2f(\frac{5}{4})\\\frac{5}{4}&=1.25 だから\frac{5}{4}<\sqrt{2}\\よって(\rm iii)より\end{split}\)
\(\begin{split}f(1)<f(\frac{5}{4})<f(\sqrt{2})\end{split}\)
\(\begin{split}f(1)<f(\frac{5}{4})<\frac{f(2)}{2}=0.5\\
0<2f(\frac{5}{4})<1\\
6<6+2f(\frac{5}{4})<7\\
6<f(100)<7\\
よってn=6\end{split}\)



問4

\(\begin{split}問1,問2より\\f(\sqrt{8})&=1.5
\\f(2^{\frac{7}{4}})&=\frac{7}{4}\\&=1.75
\end{split}\)
\(つまり\sqrt{8}<3<2^{\frac{7}{4}}を示せばよい\)

\(\begin{split}3^2-{\sqrt{8}}^2=1>0 \\すなわち3^2>{\sqrt{8}}^2\\ 3>0,\sqrt{8}>0だから\\ 3>\sqrt{8} \end{split}\)

\(\begin{split}(2^{\frac{7}{4}})^4-3^4&=128-81\\&=47>0\end{split}\)
\(\begin{split}2^{\frac{7}{4}}>0,3>0より\\2^{\frac{7}{4}}>3\end{split}\)

\(\begin{split}以上より\sqrt{6}<3<2^{\frac{7}{4}} \\f(\sqrt{6})<f(3)<f(2^{\frac{7}{4}})
\\よって1.5<f(3)<1.75\end{split}が示された\) 平成30年度の解答はこちら





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