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【大学受験】東北大学AOⅡ期の過去問の解答を作ってみた【H30】

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今回は平成30年度のAOⅡ期の工学部の数学の問題の答えを作ってみました。

問題文は著作権の都合上載せられないので各自で参照してください。

絶対にあってる保証はないので、そこのところは許して。

目次

問題I

問1

\(\begin{split}\overrightarrow{OG}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\\&=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}\end{split}\)

問2

\(\begin{split}\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}\end{split}\)
\(\begin{split}\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\vec{b}\end{split}\)
\(\begin{split}\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}\end{split}\)

\(\begin{split}平面α上の点Rは\end{split}\)
\(\begin{split}\overrightarrow{OR}&=s\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ}+u\overrightarrow{OG}\\&=\frac{s+u}{2}\vec{a}+\frac{t}{3}\vec{b}+\frac{u}{2}\vec{c}(ただしs,t,uは実数,s+t+u=1)\\と表せる・・・(1)\end{split}\)

\(\begin{split}またRは辺BC上より\\
\overrightarrow{OR}&=i\vec{b}+j\vec{c}(ただしi+j=1)と表せる\end{split}\)

\(\begin{split}すなわちs+u=0\\よってt=1,u=\frac{4}{3}\\ゆえに\overrightarrow{OR}&=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\end{split}\)

問3

\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}は1次独立\\\overrightarrow{OH}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=(x,y,z)とする\)
\(\begin{split}\overrightarrow{OH}は平面αに垂直なので\\
\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{GQ}&=0\\
\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{GP}&=0\end{split}\)

\(\begin{split}\overrightarrow{GQ}&=(-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{2})\\\overrightarrow{GP}&=(0,0,-\frac{1}{2})より\end{split}\)

\(\begin{split}\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{GQ}&=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}z=0\\\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{GP}&=-\frac{1}{2}z=0\end{split}\)

\(ゆえにz=0,\overrightarrow{OH}=(2k,3k,0)(ただしkは実数)\)

\(\begin{split}またHは平面α上なので(1)より\end{split}\)
\(\overrightarrow{OH}=\frac{s'+u'}{2}\vec{a}+\frac{t'}{3}\vec{b}+\frac{u'}{2}\vec{c}とも表せる\)

\(\begin{split}よってu'=0,\frac{s'}{2}=2k,\frac{t'}{3}=3k\\またs'+t'+u'=1なので\end{split}\)

\(\begin{split}s'&=\frac{4}{13}\\t'&=\frac{9}{13}\end{split}\)

\(\begin{split}よって\overrightarrow{OH}=\frac{2}{13}\vec{a}+\frac{3}{13}\vec{b}\end{split}\)

\(\begin{split}|\overrightarrow{OH}|^2=(\frac{2}{13})^2+(\frac{3}{13})^2\end{split}\)

\(\begin{split}|\overrightarrow{OH}|=\frac{1}{\sqrt{13}}\end{split}\)



問題II

問1

\(\begin{split}\int_0^a f(x)g(x)dx&=\int_0^a bf(x)dx-\int_0^a f(x)g(a-x)dx\\&=b\int_0^a f(x)dx-\int_0^a f(a-x)g(a-x)dx\end{split}\)

\(a-x=yとすると\)
\(\begin{split}\int_0^a f(a-x)g(a-x)dx&=\int_0^a f(y)g(y)dy\end{split}\)

積分値は変数によらないから

\(\begin{split}\int_0^a f(y)g(y)dy=\int_0^a f(x)g(x)dx=\int_0^a f(a-x)g(a-x)dx\end{split}\)

これを最初の式に代入する

\(\begin{split}\int_0^a f(x)g(x)dx&=b\int_0^a f(x)dx-\int_0^a f(x)g(x)dx\\ \int_0^a f(x)g(x)dx&=\frac{b}{2}\int_0^a f(x)dx\end{split}\)

問2

\(\begin{split}f(\pi-a)&=|\cos(\pi-x)|\sin(\pi-x)\\&=|-\cos{x}|\sin{x}\\&=|\cos{x}|\sin{x}\\&=f(x)\end{split}\)

問3

\((2)より\)
\(\begin{split}\frac{\pi}{1+e^{-x+\frac{\pi}{2}}}=b-\frac{\pi}{1+e^{x-a+\frac{\pi}{2}}}\end{split}\)

\(これは任意のxに対して成り立つ\\両辺極限を取る\)

\(\begin{split}\lim_{x \to \infty}\frac{\pi}{1+e^{-x+\frac{\pi}{2}}}&=\lim_{x \to \infty}(b-\frac{\pi}{1+e^{x-a+\frac{\pi}{2}}})\end{split}\)
\(b=\pi\)

\(x=\frac{\pi}{2}のとき\)

\(\begin{split}\pi-\frac{\pi}{1+e^{\pi-a}}=\frac{\pi}{2}\\a=\pi\end{split}\)

\(a=\pi,b=\piのときg(x)=b-g(a-x)が常に成り立つから\\a=\pi,b=\pi\)

問4

\(\begin{split}\int_0^\pi\frac{\pi|\cos{x}|\sin{x}}{1+e^{-x+\frac{\pi}{2}}}dx&=\int_0^\pi f(x)g(x)dx\\&=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(x)dx\\&=\frac{\pi}{2}(\int_0^\frac{\pi}{2} \cos{x}\sin{x}dx-\int_\frac{\pi}{2}^\pi \cos{x}\sin{x}dx)\\&=\frac{\pi}{2}\end{split}\)

平成31年度の解答はこちら





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